Sesión 2
Estamos en los apartados 2 y 3 del libro. Un pelín más complicados que el anterior.
2. El sistema de coordenadas
1. Basándonos en la interpretación física de la distancia que acabamos de señalar [en el apartado 1, el de la geometría, el que hemos visto] estamos también en condiciones de determinar la distancia entre dos puntos de un cuerpo rígido [vimos ya el concepto] por medio de mediciones. Para ello necesitamos un segmento (regla S) que podamos utilizar de una vez para siempre y que sirva de escala unidad. Si A y B son dos puntos de un cuerpo rígido, su recta de unión es entonces construible según las leyes de la Geometría; sobre esta recta de unión, y a partir de A, llevamos el segmento S tantas veces como sea necesario para llegar a B. El número de repeticiones de esta operación es la medida del segmento AB. Sobre esto descansa toda medición de longitudes.”
En nota, la 2, señala AE: “Se ha supuesto, sin embargo, que la medición es exacta, es decir, que da un número entero. De esta dificultad se deshace uno empleando escalas subdivididas, cuya introducción no exige ningún método fundamentalmente nuevo”.
Donde AE dice leyes debería haber dicho postulados geométricos (nada sustantivo).
Sin entrar en materia, podemos aceptar la presentación de la medición. Buscamos una unidad, la que sea, cualquier tamaño sería posible, y operamos según lo señalado. Si la medición nos diera 17 veces y algo más, buscamos una más pequeña hasta que nos dé un número exacto, un entero. Pongamos: 1.735 veces haciéndola cien veces más pequeña.
Complicación: aquí nos enfrentamos al tema de los segmentos inconmensurables (fueron los pitagóricos los que descubrieron su existencia). Supongamos un cuadrado: ¿es posible encontrar una unidad de medida (la que sea) común al lado y a la diagonal, de forma tal que podamos afirmar que el lado mide (pongamos) 15 unidades y la diagonal 19? La respuesta es que no. Basta pensar en un cuadrado de lado 1. La diagonal no permite ser medida con la unidad del lado, sea cual sea la unidad, por pequeña que sea. Por eso decimos que mide la raíz cuadrado de 2 (un número irracional, es decir, no racional, no fracción, no construíble con enteros).
Podemos pasarlo por alto.
2. Cualquier descripción espacial del lugar de un suceso o de un objeto consiste en especificar el punto de un cuerpo rígido (cuerpo de referencia) con el cual coincide el suceso, y esto vale no sólo para la descripción científica, sino también para la vida cotidiana. Si analizo la especificación de lugar «en Berlín, en la Plaza de Potsdam», veo que significa lo siguiente. El suelo terrestre es el cuerpo rígido al que se refiere la especificación de lugar; sobre él, «Plaza de Potsdam en Berlín» es un punto marcado, provisto de nombre, con el cual coincide espacialmente el suceso [3].
En nota, la 3, señala AE: “No es preciso entrar aquí con más detenimiento en el significado de “coincidencia espacial”, pues este concepto es claro en la medida en que, en un caso real, apenas habría división de opiniones en torno a su validez”.
Más allá del ejemplo de la vida cotidiana que cita, habría que pensar cómo se especifica, en términos científicos, el punto del cuerpo rígido que tomamos como referencia. Lo explica luego.
La nota es jugosa: un concepto es claro (este o cualquier otro) cuando apenas hay división de opiniones (¿en las comunidades científicas?) en torno a su validez. ¿No hay aquí una consideración sociológica y subjetivista (si vale el término) sobre el acuerdo y la claridad del concepto? Desde otro punto de vista, ¿cómo si no podríamos aceptar la claridad-validez de un concepto?
3. Este primitivo modo de localización sólo atiende a lugares situados en la superficie de cuerpos rígidos y depende de la existencia de puntos distinguibles sobre aquélla.
Veamos cómo el ingenio humano se libera de estas dos limitaciones sin que la esencia del método de localización sufra modificación alguna. Si sobre la Plaza de Potsdam flota por ejemplo una nube, su posición, referida a la superficie terrestre, cabrá fijarla sin más que erigir en la plaza un mástil vertical que llegue hasta la nube. La longitud del mástil medida con la regla unidad, junto con la especificación del lugar que ocupa el pie del mástil, constituyen entonces una localización completa.
El ejemplo nos muestra de qué manera se fue refinando el concepto de lugar:
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Se prolonga el cuerpo rígido al que se refiere la localización, de modo que el cuerpo rígido ampliado llegue hasta el objeto a localizar.
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Para la caracterización del lugar se utilizan números, y no la nomenclatura de puntos notables (en el caso anterior, la longitud del mástil medida con la regla).
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Se sigue hablando de la altura de la nube aun cuando no se erija un mástil que llegue hasta ella. En nuestro caso, se determina mediante fotografías de la nube desde diversos puntos del suelo y teniendo en cuenta las propiedades de propagación de la luz, qué longitud habría que dar al mástil para llegar a la nube.
Aquí, en la medición (apartado c), aparece el tema de la propagación de la luz. Será importante más adelante. Lo podemos dejar pasar ahora.
En el apartado b habla de números pero luego sólo cita uno, el de la longitud del mástil. Faltaría el del lugar (la plaza de Postdam), el del punto del cuerpo rígido (la superficie terrestre). Podemos pensar en un sistema de coordenadas clásico (habla más tarde).
AE habla de “ingenio humano” (no sé la expresión alemana). Lo ya sabido (aunque a veces se olvida): el ingenio humano también es esencial en asuntos científicos. La ciencia no es algoritmizable (aunque si lo fuera, el ingenio sería necesario para dar con los algoritmos).
4. De estas consideraciones se echa de ver que para la descripción de lugares es ventajoso independizarse de la existencia de puntos notables, provistos de nombres y situados sobre el cuerpo rígido al que se refiere la localización, y utilizar en lugar de ello números. La física experimental cubre este objetivo empleando el sistema de coordenadas cartesianas.
Lo hemos comentado antes. Para los que no recordéis el asunto son aquellas rectas, tres en total, perpendiculares entre sí: x, y z. Así, por ejemplo: el punto <3, 4, 5> [Lo de cartesianas: por el nombre de Descartes en latín: Cartesius. Creo, en todo caso (no aseguro), que no fue él el primero en usarlas. Si mi memoria no me falla, en La Géométrie -uno de los tres libros científicos que escribió (los otros dos: Óptica y Meteorología; yo sólo he leído, sudando tinta, La Géométrie) todos ellos prologados por el Discurso del método- las usa.
5. Este sistema consta de tres paredes rígidas, planas, perpendiculares entre sí y ligadas a un cuerpo rígido. El lugar de cualquier suceso, referido al sistema de coordenadas, viene descrito (en esencia) por la especificación de la longitud de las tres verticales o coordenadas (x, y, z) (cf. Fig. 2, p. 33) que pueden trazarse desde el suceso hasta esas tres paredes. Las longitudes de estas tres perpendiculares pueden determinarse mediante una sucesión de manipulaciones con reglas rígidas, manipulaciones que vienen prescritas por las leyes y métodos de la Geometría euclidiana.
Lo que señalaba antes: las tres coordenadas clásicas. La figura no aparta nada especial.
De nuevo aparece aquí la geometría euclidiana, la matemática “fisicalizada” que justifica estas “manipulaciones”.
6. En las aplicaciones no suelen construirse realmente esas paredes rígidas que forman el sistema de coordenadas; y las coordenadas tampoco se determinan realmente por medio de construcciones con reglas rígidas, sino indirectamente. Pero el sentido físico de las localizaciones debe buscarse siempre en concordancia con las consideraciones anteriores, so pena de que los resultados de la física y la astronomía se diluyan en la falta de claridad [4].
En nota 4 señala AE: “No es sino en la teoría de la relatividad general, estudiada en la segunda parte del libro, donde se hace necesario afinar y modificar esta concepción”.
Veremos pues la afinación. También más adelante.
Se me escapa este paso: “las coordenadas tampoco se determinan realmente por medio de construcciones con reglas rígidas, sino indirectamente”. No sé a qué refiere ese indirectamente.
Insiste en lo señalado: uso de la geometría euclidiana para superar el riesgo de la falta de claridad.
7. “La conclusión es, por tanto, la siguiente: toda descripción espacial de sucesos se sirve de un cuerpo rígido al que hay que referirlos espacialmente. Esa referencia presupone que los «segmentos» se rigen por las leyes de la Geometría euclídea, viniendo representados físicamente por dos marcas sobre un cuerpo rígido”.
No sé si traiciono su decir si señalo la necesidad de un punto de referencia en física para toda descripción espacial. Para indicar mi posición, en mi casa por ejemplo, debo indicar qué punto (por ejemplo, el punto de intersección de las paredes de fondo y el suelo de la cocina) me sirve de referencia. Respecto a él diré que estoy en la posición (4, 5, 6) y a una distancia de 6 por ejemplo.
No olvidemos por otra parte, aunque lo olvidamos, que vivimos, estamos moviéndonos por un “cuerpo rígido” que se mueve a su vez, la Tierra, que realiza simultáneamente tres movimientos no uniformes: traslación en torno al sol (que a su vez…), de rotación sobre sí misma y de desplazamiento de su eje de giro.
Lo de lo segmentos ya lo hemos comentado.
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El apartado siguiente: “§3. Espacio y tiempo en la Mecánica clásica”.
1. Si formulo el objetivo de la Mecánica diciendo que «la Mecánica debe describir cómo varía con el tiempo la posición de los cuerpos en el espacio», sin añadir grandes reservas y prolijas explicaciones, cargaría sobre mi conciencia algunos pecados capitales contra el sagrado espíritu de la claridad. Indiquemos antes que nada estos pecados.
De nuevo la necesidad de precisión y rigor en física (¿y en cualquier disciplina?)
2. No está claro qué debe entenderse aquí por «posición» y «espacio». Supongamos que estoy asomado a la ventanilla de un vagón de ferrocarril que lleva una marcha uniforme, y dejo caer una piedra a la vía, sin darle ningún impulso. Entonces veo (prescindiendo de la influencia de la resistencia del aire) que la piedra cae en línea recta. Un peatón que asista a la fechoría desde el terraplén observa que la piedra cae a tierra según un arco de parábola. Yo pregunto ahora: las «posiciones» que recorre la piedra ¿están «realmente» sobre una recta o sobre una parábola? Por otro lado, ¿qué significa aquí movimiento en el «espacio»? La respuesta es evidente después de lo dicho en epígrafe 2 [el anterior]. Dejemos de momento a un lado la oscura palabra «espacio», que, para ser sinceros, no nos dice absolutamente nada; en lugar de ella ponemos «movimiento respecto a un cuerpo de referencia prácticamente rígido». Las posiciones con relación al cuerpo de referencia (vagón del tren o vías) han sido ya definidas explícitamente en el epígrafe anterior. Introduciendo en lugar de «cuerpo de referencia» el concepto de «sistema de coordenadas», que es útil para la descripción matemática, podemos decir: la piedra describe, con relación a un sistema de coordenadas rígidamente unido al vagón, una recta; con relación a un sistema de coordenadas rígidamente ligado a las vías, una parábola. En este ejemplo se ve claramente que en rigor no existe una trayectoria, sino sólo una trayectoria [5] con relación a un cuerpo de referencia determinado.
La nota de AE: “Es decir, una curva a lo largo de la cual se mueve el cuerpo.”
¡Menuda fechoría la fechoría que nos cuenta! Marcha uniforme es aquí con velocidad uniforme, sin aceleración, y sin giros o rotaciones, con traslación rectilínea uniforme.
Lo esencial aquí es: para hablar de trayectoria debemos indicar respecto a qué. No existe “la trayectoria”. No se puede afirmar que la trayectoria rectilínea es falsa (la que vemos nosotros que viajamos en el tren) y la que se ve desde las vías del tren, la parábola, es la verdadera (lo es respecto al terraplén). Así pues: debemos hablar siempre de sistemas de referencia, respecto a qué decimos que tal o cual cuerpo hace, por ejemplo, un movimiento de traslación elíptica (en el caso de la Tierra).
La referencia a la influencia de la resistencia del aire es una característica de la ciencia física: “idealizamos”, “abstraemos”, en un primera aproximación, para evitar complejidad, determinados elementos o aspectos (en este caso, algo real por insignificante que sea en la caída de la piedra: la resistencia que ofrece el aire a ese movimiento).
Que el movimiento que observamos sea una parábola es de fácil demostración. No hace falta entrar en ello.
3. Ahora bien, la descripción completa del movimiento no se obtiene sino al especificar cómo varía la posición del cuerpo con el tiempo, o lo que es lo mismo, para cada punto de la trayectoria hay que indicar en qué momento se encuentra allí el cuerpo. Estos datos hay que completarlos con una definición del tiempo en virtud de la cual podamos considerar estos valores temporales como magnitudes esencialmente observables (resultados de mediciones). Nosotros, sobre el suelo de la Mecánica clásica, satisfacemos esta condición -con relación al ejemplo anterior- de la siguiente manera. Imaginemos dos relojes exactamente iguales; uno de ellos lo tiene el hombre en la ventanilla del vagón de tren; el otro, el hombre que está de pie en el terraplén. Cada uno de ellos verifica en qué lugar del correspondiente cuerpo de referencia se encuentra la piedra en cada instante marcado por el reloj que tiene en la mano. Nos abstenemos de entrar aquí en la imprecisión introducida por el carácter finito de la velocidad de propagación de la luz. Sobre este extremo, y sobre una segunda dificultad que se presenta aquí, hablaremos detenidamente más adelante.
El paso es importante: a) la descripción completa del movimiento se obtiene al especificar cómo varía la posición del cuerpo con el tiempo (velocidad); b) el tiempo es nuevo invitado (unido a la posición, a coordenadas espaciales: en el instante t, el cuerpo está en la posición (x, y, z); c) Añade: “Estos datos hay que completarlos con una definición del tiempo en virtud de la cual podamos considerar estos valores temporales como magnitudes esencialmente observables (resultados de mediciones)”: la definición de t debe implicar un nuevo valor, una “nueva coordenada”; d) Sobre el suelo de la mecánica clásica (la newtoniana, sin salirnos de ella), AE satisface esa condición (la que él mismo enuncia) con el asunto de los relojes (Peter Gallison ha escrito un magnífico libro sobre el tema): los dos hombrecitos (el del terraplén y el del tren), con sus relojes, verifican en qué posición se encuentra la piedra a cada instante.
AE no entra aquí en un asunto esencial en su teoría: que la luz no es instantánea, que la velocidad de propagación de la luz no es infinita (en el vacío, recordemos, 300.000 km/s; en el Universo las distancias se miden en años-luz, el espacio recorrido por la luz a lo largo de un año: 300.000*365,25*84.600 = 9.276.390.000.000 (más de 9 billones de km).
Habla de una segunda dificultad. Habla de estas dificultades más adelante.
